$\Z[i],\Z[\sqrt{-5}]$ の素イデアル
この記事では,
２つの整数環 $\Z[i],\Z[\sqrt{-5}]$
の素イデアルについて考えます。
以下, 定義と記号は[AM]に合わせます。
イデアルが素イデアルであることを示すとき, 次の定理がよく使われます。
定理
環 $R$ のイデアル $P$ について,
$P$ は素イデアルである $\iff$ $R/P$ は整域である
$\Z[i]$ の素イデアル
それでは $\Z[i]$ について次の問題を見ていこう.
問１
$\Z[i]$ のイデアル $(3),\ (1+i)$ は素イデアルであることを示せ.
解答
まず同型 $\Z[i]\cong \Z[X]/(X^2+1)$
が成り立つことを思い出そう.
($\because\ f:\Z[X]\to\Z[i],\
\v(X)\mapsto \v(i)$ とすると,
$\Ker f=(X^2+1)$ であり, 環の準同型定理を用いる.)
(3)は素イデアルであることを示す.
\[ \Z[i]/(3)\cong \Z[X]/(X^2+1,3)\cong \mathbb{F}_3[X]/(X^2+1). \]
$x^2+1$ は $\mathbb{F}_3$ 上で既約である.
よって, $\Z[i]/(3)$ は整域なので,
$(3)$ は素イデアルである.
$(1+i)$ は素イデアルであることを示す.
\[\eq{
\Z[i]/(1+i)
& \cong \Z[X]/(X^2+1,X+1)
\\ & \cong \Z[X]/(X+1, 2)
\\ & \cong \mathbb{F}_2[X]/(X+1)
\\ & \cong \mathbb{F}_2.
}\]
($\because\ X^2+1=(X-1)(X+1)+2$ より,
$(X^2+1,X+1)=(X+1,2)$ である.)
従って, $\Z[i]/(1+i)$ は整域なので,
$(1+i)$ は素イデアルである.
ちなみに, $\Z[i]$ のイデアル $(2), (5)$ は素イデアルでない. 実際,
\[ (2)=(1+i)^2,\ \ (5)=(2+i)(2-i)\]
と分解できる.
$\Z[\sqrt{-5}]$ の素イデアル
次に $\Z[\sqrt{-5}]$ のイデアルが素イデアルであるか調べよう.
問２
$\Z[\sqrt{-5}]$ において, $(2)$ は素イデアルでないことを示せ.
解答
定理より, $\Z[\sqrt{-5}]/(2)$ が整域でないことを示せばよい.
まず準同型定理より, $\Z[\sqrt{-5}]\cong \Z[X]/(X^2+5)$
が成り立つことを思い出そう.
($\because\ f:\Z[X]\to\Z[\sqrt{-5}],\
\v(X)\mapsto \v(\sqrt{-5})$ とすると,
$\Ker f=(X^2+5)$ であり, 環の準同型定理を用いる.)
では, (2)が素イデアルでないことを示す.
\[\eq{
\Z[\sqrt{-5}]/(2)
& \cong \Z[X]/(X^2+5,2)
\\ & \cong \mathbb{F}_2[X]/(X^2+5)
\\ & \cong \mathbb{F}_2[X]/(X^2+1)
\\ & \cong \mathbb{F}_2[X]/(X+1)^2.
}\]
従って, $\Z[\sqrt{-5}]/(2)$ は整域でないので,
$(2)$ は素イデアルでない.
(別解)
$1+\sqrt{-5}\notin (2)$ かつ $1-\sqrt{-5}\notin (2)$
であるが,
\[(1+\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5})=6\in (2)\]
なので, $(2)$ は素イデアルでない.
(※ 今回は別解のほうが簡単に証明できたけれど,もっと複雑なイデアルの場合だと機械的に同型の計算をやっていくほうがよい.)
上と同様のやり方で, $(3), (1+\sqrt{-5})$ も $\Z[\sqrt{-5}]$ の素イデアルでないことが示せる.
問３
$\Z[\sqrt{-5}]$ において,
$(3)$ と $(1+\sqrt{-5})$
は素イデアルでないことを示せ.
- ▼解答
-
//(3)について//
\[\eq{ \Z[\sqrt{-5}]/(3) & \cong \Z[X]/(X^2+5,3) \\ & \cong \mathbb{F}_3[X]/(X^2+5) \\ & \cong \mathbb{F}_3[X]/(X^2-1) \\ & \cong \mathbb{F}_3[X]/(X+1)(X-1) \\ & \cong \mathbb{F}_3\times \mathbb{F}_3. }\] 従って, $\Z[\sqrt{-5}]/(3)$ は整域でないので, $(3)$ は素イデアルでない.
(別解)
$1+\sqrt{-5}\notin (3)$ かつ $1-\sqrt{-5}\notin (3)$ であるが,
\[(1+\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5})=6\in (3)\] なので, $(3)$ は素イデアルでない.
//$(1+\sqrt{-5})$ について//
\[\eq{ \Z[\sqrt{-5}]/(1+\sqrt{-5}) & \cong \Z[X]/(X^2+5,X+1) \\ & \cong \Z[X]/(X+1,6) \\ & \cong (\Z/6\Z)[X]/(X+1) \\ & \cong \Z/6\Z. }\] ($\because\ X^2+5=(X-1)(X+1)+6$ より, $(X^2+5,X+1)=(X+1,6)$ である.)
従って, $\Z[\sqrt{-5}]/(1+\sqrt{-5})$ は整域でないので, $(1+\sqrt{-5})$ は素イデアルでない.
問４
$\Z[\sqrt{-5}]$ において,
$(2, 1+\sqrt{-5})$ は素イデアルであることを示せ.
解答
\[\eq{
\Z[\sqrt{-5}]/(2, 1+\sqrt{-5})
& \cong \Z[X]/(X^2+5,X+1,2)
\\ & \cong \mathbb{F}_2[X]/(X^2+5,X+1)
\\ & \cong \mathbb{F}_2[X]/(X+1)
\\ & \cong \mathbb{F}_2.
}\]
従って, $\Z[\sqrt{-5}]/(2, 1+\sqrt{-5})$ は整域なので,
$(2, 1+\sqrt{-5})$ は素イデアルである.
同様のやり方で, $(2,1-\sqrt{-5}),\ $ $(3,1+\sqrt{-5}),\ $ $(3,1-\sqrt{-5})$ が $\Z[\sqrt{-5}]$ の素イデアルであることが示せる.
おまけ/ $\Z[\sqrt{-5}]$ の逆イデアル
問
$R=\Z[\sqrt{-5}]$ とする.
$I=(3,1+\sqrt{-5})$ を $R$ のイデアルとする.
このとき, $I$ の逆イデアル $I^{-1}$ は $R$ 加群
\[ I^{-1}=R+\dfrac{1-\sqrt{-5}}{3}\]
であることを示せ.
解答
イデアルの等式:
\[(3,1+\Z[\sqrt{-5}])(3, 1-\sqrt{-5})=3\]
が成り立つので,
\[I\cdot(3,1-\sqrt{-5})\cdot(\dfrac{1}{3})=R\]
である. よって,
\[ I^{-1}=R+\dfrac{1-\sqrt{-5}}{3}.\]