Takatani Note

$S^1$ のド・ラームコホモロジー

この記事では, 円 $S^1$ と球面 $S^2$ のド・ラームコホモロジーを計算する.

問題
円 $S^1$ に対して次を示せ.
$H^0(S^1)=\R,$
$H^1(S^1)=\R,$
$H^k(S^1)=0\ (k\neq 0,1).$

証明
$S^1=\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2=1\}$ について,
$U:=\{(x,y)\in S^1\mid y>-(1/2)\},$
$V:=\{(x,y)\in S^1\mid y<(1/2)\}$
とおく.
マイヤー・ヴィートリス完全系列より,
$0 \to H^0(S^1) \to H^0(U)\oplus H^0(V) \to H^0(U\cap V)$
$\ \ \to H^1(S^1) \to H^1(U)\oplus H^1(V) \to H^1(U\cap V)$
$\ \ \to 0.$

同相 $U\cong V\cong \R$ に注意しよう.
$S^1,\ U,\ V$ は連結なので,
$H^0(S^1)=H^0(U)=H^0(V)=\R.$
$U\cap V$ の連結成分は2個なので, $H^0(U\cap V)=\R^2.$
ポアンカレの補題より, $H^1(U)=H^1(V)=0.$

以上から, 上の完全系列は次のようになる.
$0 \to \R \to \R^2 \to \R^2 \to H^1(S^1) \to 0.$
よって, $H^1(S^1)= \R.$

問題
球面 $S^2$ に対して次を示せ.
$H^0(S^2)=\R,$
$H^1(S^2)=0,$
$H^2(S^2)=\R,$
$H^k(S^2)=0\ (k\neq 0,1,2).$

証明
$S^2=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}$ において,
$U:=\{(x,y,z)\in S^2\mid z>-\dfrac{1}{2}\},$
$V:=\{(x,y,z)\in S^2\mid z<\dfrac{1}{2}\}$
とすると, $S^2=U\cup V$ である.

マイヤー・ヴィートリス完全系列より,
$0 \to H^0(S^2) \to H^0(U)\oplus H^0(V) \to H^0(U\cap V)$
$\ \ \to H^1(S^2) \to H^1(U)\oplus H^1(V) \to H^1(U\cap V)$
$\ \ \to H^2(S^2) \to H^2(U)\oplus H^2(V) \to H^2(U\cap V)$
$\ \ \to 0.$

$U\cong V\cong \R^2,$
$U\cap V \cong \R\times S^1\simeq S^1$
に注意しよう.
ここで, $\cong$ は位相同型, $\ \simeq$ はホモトピー同値を表す.

$S^2,\ U,\ V,\ U\cap V$ はすべて連結なので,
$\ \ \ H^0(S^2)=H^0(U)=H^0(V)=H^0(U\cap V)=\R.$
ポアンカレの補題より, $\ \ \ H^1(U)=H^1(V)=H^2(U)=H^2(V)=0$
である. $U\cap V \simeq S^1$ より,
$H^1(U\cap V) =H^1(S^1)=\R.$

以上の結果から,
$0 \to \R \to \ \R^2 \to \R$
$\ \ \to H^1(S^2) \to 0 \to \R$
$\ \ \to H^2(S^2) \to 0.$
よって,
$\ \ \ H^1(S^2)=0, \ H^2(S^2)=\R.\ \ \square$

ポアンカレの補題

ここからは, ドラームコホモロジーの計算で使ったポアンカレの補題について簡単に説明する.

補題
$\R^n$ において閉形式は完全形式である.

この補題をポアンカレの補題という. これについて説明する.

定義
$\omega$ を $k$ 次微分形式とする.
$d\omega=0$ であるとき, $\omega$ を閉形式 (closed form)という.
一方で, $k>0$ のとき, $\omega=d\eta$ となる $(k-1)$ 次微分形式 $\eta$ が 存在するとき, $\omega$ を完全形式 (exact form)という.

$\omega$ が完全形式のとき, $d\omega=d(d\eta)=0$ より, $\omega$ は閉形式である. つまり, 完全形式ならば閉形式である.
しかし, 逆は一般には成り立たない.

ただ, ポアンカレの補題によって, $\R^n$ の場合, 閉形式は完全形式である.
このことをコホモロジーの言葉で書き直すと次のようになる.
$\displaystyle H^k(\R^n)= \begin{cases} \R \ \ \ (k=0) \\ 0 \ \ \ \ (k>0) \end{cases} $
この事実は, マイヤーヴィートリス完全系列の計算に役立つ.
例えば, $n$ 次元球面 $S^n$ やトーラス $T$ のコホモロジーを計算するときに役に立つ.