Takatani Note

転置行列【性質と証明】

この記事では、転置行列について次の性質を証明します。

証明の前に、転置行列の定義を確認しておきます。

定義
$m\times n$ 行列
\[ A= \m{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \ddots & \vdots \cr a_{m1} & \cdots & a_{mn} } \] の転置行列 ${}^t A$ とは
\[ {}^tA= \m{ a_{11} & \cdots & a_{m1} \cr \vdots & \ddots & \vdots \cr a_{1n} & \cdots & a_{mn} } \] で定義される $n\times m$ 行列のことである.

つまり, 行列 $A$ の転置行列とは, $A$ の $(i, j)$ 成分と $(j, i)$ 成分を入れ替えてできる行列のことです。


$A= \m{ 1 & 2 \cr 3 & 4 }$ ならば ${}^tA= \m{ 1 & 3 \cr 2 & 4 }.$


$A= \m{ 1 & 2 & 3 \cr 4 & 5 & 6 }$ ならば ${}^tA= \m{ 1 & 4 \cr 2 & 5 \cr 3 & 6 }.$

転置行列の性質

転置行列の積

定理X
$A$ を $l\times m$ 行列, $B$ を $m\times n$ 行列とする. このとき, \[ {}^t(AB)={}^tB\ {}^tA.\]

[証明]
${}^t(AB)$ の $(i,j)$ 成分は, ($AB$ の $(j,i)$ 成分に等しいので,) \[ \sum_{k=1}^ma_{jk}b_{ki} \] である.
一方, ${}^tB\ {}^tA$ の $(i,j)$ 成分は
\[ \sum_{k=1}^mb_{ki}a_{jk} \] である.
従って, 両者の $(i,j)$ 成分が一致するので, \[ {}^t(AB)={}^tB\ {}^tA. \]

この定理を使えば, 3つの行列の積の転置が簡単に求まる.


$A$ を $l\times m$ 行列, $B$ を $m\times n$ 行列, $C$ を $n\times p$ 行列とする. このとき,
\[ {}^t(ABC)={}^tC\ {}^tB\ {}^tA. \]

[証明]
定理Xより, \[ {}^t(ABC)={}^t((AB)C) ={}^tC\ {}^t(AB)={}^tC\ {}^tB\ {}^tA.\]

逆行列

定理
$A$ を $n$ 次の正則行列とすると, \[ {}^t(A^{-1})=({}^tA)^{-1}. \]

[証明]
定理Xより, \[ {}^tA\ {}^t(A^{-1})={}^t(A^{-1}A)={}^tI=I \] である. ゆえに ${}^tA\ {}^t(A^{-1})=I$ の両辺に $({}^tA)^{-1}$ を左からかけると \[ ^t(A^{-1})=({}^tA)^{-1}. \]

転置行列の行列式

定理
任意の正方行列 $A$ に対して, \[ \det(\tp A)=\det(A) \]

[証明]
$A=(a_{ij})$ とする. 行列式の定義から \[ \det A=\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s) a_{1\s(1)}a_{2\s(2)}\cdots a_{n\s(n)} \] である.
$\s(1),\s(2),\cdots,\s(n)$ は $1,2,\cdots,n$ の順列であって, $\s(i)=j$ とおけば $i=\s^{-1}(j).$
したがって $a_{i\s(i)}=a_{\s^{-1}(j)j}$ であるから, 因数の順序を並べ替えることによって,
\[ a_{1\s(1)}\cdots a_{n\s(n)} =a_{\s^{-1}(1)1}\cdots a_{\s^{-1}(n)n}\] と書き換えられる.
そして, $\sgn(\s)=\sgn(\s^{-1})$ であるから,
\[\det A=\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s^{-1})
a_{\s^{-1}(1)1}\cdots a_{\s^{-1}(n)n} \] さらに $\s$ が $S_n$ 全体を動けば, $\s^{-1}$ も $S_n$ 全体を動くので, 上の和を \[ \det A=\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s) a_{\s(1)1}\cdots a_{\s(n)n} \tag{*}\] と書き直せる.
ここで, 転置行列 ${}^tA$ の $(i,j)$ 成分を $b_{ij}$ とすれば, $b_{ij}=a_{ji}$ であるから, $(*)$ の右辺は \[ \sum_{\s\in S_n}\sgn(\s) b_{1\s(1)}\cdots b_{n\s(n)}\] と表される. これは $\det({}^tA)$ に等しい.
これが示したいことであった.

行列式の定義や性質などは行列式の性質を参照せよ.