Takatani Note

表現行列の求め方【例題】

この記事では, 線型写像の表現行列を求める例題を扱います。

例題の前に、表現行列の定義を確認します。

定義
$V,W$ をベクトル空間とし, $\dim V=n,\ $ $\dim W=m$ とする.
$\{v_1,\cdots,v_n\},\ $ $\{w_1,\cdots,w_m\}$ をそれぞれ $V,W$ の基底とし, 固定しておく.
線型写像 $f:V\to W$ に対して, $m\times n$ 行列 $A$ を次のようにして定める.

$f(v_1),\cdots,f(v_n)$ は $W$ のベクトルであるから, $W$ の基底 $\{w_1,\cdots,w_n\}$ の1次結合として一意的に
\[ \begin{align} f(v_1) & =a_{11}w_1+a_{21}w_2+\cdots +a_{m1}w_m \\ f(v_2) & =a_{12}w_1+a_{22}w_2+\cdots +a_{m2}w_m \\ & \ \ \ \ \ \cdots\cdots \ \ \ \ \cdots \\ f(v_n) & =a_{1n}w_1+a_{2n}w_2+\cdots +a_{mn}w_m \end{align} \] と表される.

この連立方程式の係数のつくる行列の転置行列を $A$ と書く.
すなわち,
\[ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \] と書くと, 上の連立方程式は一括して
\[ (f(v_1),\cdots,f(v_n))=(w_1,\cdots,w_m)A \] と表される.

$A$ は $V,W$ の基底と $f$ によって一意的に定まる行列である.

行列 $A$ を $V$ の基底 $\{v_1,\cdots,v_n\},\ $ と $W$ の基底 $\{w_1,\cdots,w_m\}$ に関する $f$ の表現行列という.

逆に, 任意の $m\times n$ 行列 $A$ に対して, 上の連立方程式のようにして 線型写像 $f:V\to W$ を定めることができる.
したがって, 線型写像 $f:V\to W$ と $m\times n$ 行列は1対1に対応する.

表現行列の求め方【例題】

多項式の微分

例題
次のように $V$ を $2$ 次以下の多項式全体とする.
\[ V=\{ a+bx+cx^2\mid a,b,c\in \R\}.\] $f:V\to V$ を多項式の微分:
\[ f(a+bx+cx^2)=b+2cx\] とし, $V$ の基底として, $\{1,\ x,\ x^2\}$ をとる.
このとき, 線型写像 $f$ の表現行列を求めよ.

解答
[解答]
\[ \eqalign{ f(1\ \ \ x\ \ \ x^2) &=(f(1)\ \ f(x)\ \ f(x^2) \\ &=(0\ \ \ 1\ \ \ 2x) \\ &=(1\ \ \ x\ \ \ x^2) \m{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }. }\] よって, 線型写像 $f$ の表現行列は
\[ A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}. \]

複素数の積

例題
$\C$ を $\R$ 上の2次元ベクトル空間とみなす.
$\C$ の基底として $\{1,i\}$ をとる.
$f:\C\to \C,\ $ $a\ma ai$とする.
このとき, 線形写像 $f$ の表現行列を求めよ.

解答
[解答]
$f(1)=i,\ f(i)=-1$ より,
\[ \eqalign{ f(1\ \ \ i) &=(f(1)\ \ f(i)) \\ &=(i\ \ \ -1) \\ &=(1\ \ \ i) \m{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } }\] よって, 線型写像 $f$ の表現行列は
\[ A= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.\]

リー代数の例

次の例題はリー代数を学ぶときに出てくる基本的な例である.

例題
次のように $V$ をトレースが0の2次正方行列全体とする.
\[ V=\Bigl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \in M_2(\C)\mid a+d=0\Bigr\} \] $V$ は $\C$ 上の3次元ベクトル空間であり, 基底として, 次のように $\{v_1,v_2,v_3\}$ がとれる:
\[ v_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix},\ \ v_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix},\ \ v_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.\] $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \\ \end{pmatrix}$ を固定する.
$f:V\to V,\ $ $X\ma AX-XA$ としたとき, 線形写像 $f$ の表現行列を求めよ.

解答
[解答]
\[ \eqalign{ f(v_1) &=Av_1-v_1A \\ &=\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \\ \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} a & -b \\ c & a \\ \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} a & b \\ -c & a \\ \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 & -2b \\ 2c & 0 \\ \end{pmatrix}\\ &=-2bv_2+2cv_3. \\ f(v_2) &=Av_2-v_2A=-cv_1+2av_2. \\ f(v_3) &=Av_3-v_3A=bv_1-2av_3. }\] したがって, \[ \eqalign{ f(v_1\ \ \ v_2\ \ \ v_3) &=(f(v_1)\ \ f(v_2)\ \ f(v_3)) \\ &=(-2bv_2+2cv_3\ \ \ -cv_1+2av_2\ \ \ bv_1-2av_3)\\ &=(v_1\ \ \ v_2\ \ \ v_3) \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ -2b & 2a & 0 \\ 2c & 0 & -2a \\ \end{pmatrix}. }\] よって, 線型写像 $f$ の表現行列は
\[ A= \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ -2b & 2a & 0 \\ 2c & 0 & -2a \\ \end{pmatrix}. \]

次の問題のように, 線型写像の表現行列を調べることによって, その写像の性質がわかります.

問題
前の問題で定義した線型写像 $f$ について, 単射かどうか, 全射かどうかそれぞれ調べよ.

解答
[証明]
線型写像 $f$ の表現行列の行列式を計算すると,
\[ \det A =\begin{vmatrix} 0 & -c & b \\ -2b & 2a & 0 \\ 2c & 0 & -2a \\ \end{vmatrix}=0. \] したがって, $f$ は単射でも全射でもない.