上限と下限(supとinf)【例題】

$ \def\Lra{\Longrightarrow} \def\Lla{\Longleftarrow} $

この記事では, 上限と下限(sup,inf)に関する問題を扱います。 最後に、上限と最大値の違いについても説明します。

まず、上限と下限の定義を確認しておきます。

定義
$A\ (\neq \emp)$ を $\R$ の部分集合とする.
$\a\in \R$ が次の２条件を満たすとき, $\a$ を $A$ の上限(supremum)といい, $\sup A$ と表す：
$(1)\ \all x\in A,\ x\leq \a.$
$(2)\ \all \e >0,\ \exists x\in A,\ \a-\e < x.$

$\b\in \R$ が次の２条件を満たすとき, $\b$ を $A$ の下限(infimum)といい, $\inf A$ と表す：
$(1)\ \all x\in A,\ \b \leq x.$
$(2)\ \all \e >0,\ \exists x\in A,\ x < \b+\e.$

※上限の(2)を言葉で説明すると, $\a$ を少しでも小さくしたら, それ以上の実数が $A$ の中に存在する, という意味である.

定理
$A\ (\neq \emp)$ を $\R$ の部分集合とする.
$\a\in \R$ が $A$ の上限である必要十分条件は次の２条件が成り立つことである.
$(\te{i})\ \all x\in A,\ x\leq \a.$
$(\te{ii})\ c<\a \Longrightarrow \exists x\in A,\ c < x.$

▼ 証明

[証明]
$(\Lra)$ $\a$ が $A$ の上限であるとする. (i)が成り立つことは明らかなので, (ii)を示そう.
$c<\a$ とする. $\e=\a-c$ とおくと, $\e>0$ なので, 上限の定義より, $\a-\e< x$ となる $x\in A$ が存在する. ゆえに $c< x$ を得る.

$(\Lla)$ 任意の $\e>0$ をとる. $c=\a-\e$ とおくと, $c<\a$ なので, 仮定より $c < x$ となる $x\in A$ が存在する. ゆえに $\a-\e < x$ を得る.

したがって, 上の定理の(i),(ii)を上限の定義としてもよい. [小平]ではこの定義を採用している. しかし, 実際に上限に関する議論をするときは, $\e$ を用いた定義のほうが便利である.

例
$A$ を閉区間 $[0,1]$ とし, $B$ を開区間 $(0,1)$ とすると, $$\eq{ & \inf A & =\inf B & =0, \\ & \sup A & =\sup B & =1. }$$ $\inf \N=1.$

上限・下限(sup inf)の例題

問題の解答には「有理数の稠密性」という性質を用いる.
証明→アルキメデスの性質【わかりやすい解説】

問題
次の集合の上限と下限を求めよ.
$A=\Big\{2+\f{1}{n}\ \Big|\ n\in \N \Big\}$

▼ 解答

[解答]
任意の $x\in A$ に対して, $x\leq 3.$
任意の $\e >0$ に対して, $3\in A$ をとると, $3-\e < 3.$
したがって, $\sup A=3.$

任意の $x\in A$ に対して, $2\leq x.$
任意の $\e >0$ をとると, 有理数の稠密性より, $2< r< 2+\e$ を満たす $r\in\Q$ が存在する.
$r=2+\tf{n}{m}\ (m,n\in\N)$ と表すと, $x=2+\tf{1}{m}$ とすれば, $$ x < r < 2+\e. $$ よって, $\inf A=2.$

問題
次の集合の上限と下限を求めよ.
$A=\{x\in \Q \mid x^2 < 3\}$

▼ 解答

[解答]
任意の $x\in A$ に対して, $x < \r{3}$ が成り立つ.
任意の $\e >0$ をとると, 有理数の稠密性より, $\r{3}-\e < x < \r{3}$ を満たす(正の) $x\in \Q$ が存在する. $x^2 < 3$ なので, $x\in A$ である.
よって, $\sup A=\r{3}.$

任意の $x\in A$ に対して, $-\r{3}< 3$ が成り立つ.
任意の $\e >0$ をとると, 有理数の稠密性より, $-\r{3} < x < -\r{3}+\e$ を満たす(負の) $x\in \Q$ が存在する. $x^2 < 3$ なので, $x\in A$ である.
よって, $\inf A=-\r{3}.$

問題
$A,B\sub \R$ とする. このとき, 次を示せ. $$ \sup\{a+b\mid a\in A, b\in B\} =\sup A+ \sup B. $$

▼ 解答

[解答]
$S=\{a+b\mid a\in A, b\in B\}$ とし, $\a=\sup A,\ \b=\sup B$ とおく.
$\sup S=\a+\b$ であることを示す.
任意の $s\in S$ に対して, $s=a+b\ (a\in A, b\in B)$ という形に表されるので, $$ s=a+b \leq \a+\b\ \ (\be a\leq \a,\ b\leq \b)$$ 任意の $\e >0$ をとる.
上限の定義より, ある $a_0\in A,\ b_0\in B$ が存在して, $$ \a-\f{\e}{2} < \a_0,\ \ \ \b-\f{\e}{2} < \b_0. $$ したがって, $$ (\a+\b)-\e =(\a-\f{\e}{2})+(\b-\f{\e}{2}) < \a_0+\b_0 \in S. $$ $$ \th \sup S=\a+\b. $$

問題
$A\sub\R$ とし, $f(t),g(t)$ を $A$ 上の実数値関数とする. このとき, 次を示せ. $$\eq{ \sup_{t\in A}(f(t)+g(t)) & \leq \sup_{t\in A}f(t)+ \sup_{t\in A}g(t) \\ \inf_{t\in A}(f(t)+g(t)) & \geq \inf_{t\in A}f(t)+ \inf_{t\in A}g(t) \\ \sup_{t\in A}(f(t)g(t)) & \leq \sup_{t\in A}f(t)\sup_{t\in A}g(t) \\ \inf_{t\in A}(f(t)g(t)) & \geq \inf_{t\in A}f(t)\inf_{t\in A}g(t) }$$

▼ 解答

[解答]
以下, $\ds\sup_{t\in A},\ \inf_{t\in A}$ を簡単に $\sup,\ \inf$ で表す.
$\a=\sup(f(t)+g(t))$ とおく. 任意の $\e>0$ をとると, ある $t_0\in A$ が存在して, $$ \a-\e < f(t_0)+g(t_0) \leq \sup f(t) +\sup g(t) $$ を満たす. したがって, $$ \a < \sup f(t) +\sup g(t) +\e. $$ $\e>0$ は任意なので, $$ \a \leq \sup f(t) +\sup g(t). $$ 同様にすれば $$ \sup (f(t)g(t)) \leq \sup f(t)\sup g(t) $$ も示せる.

$\b=\inf(f(t)+g(t))$ とおく. 任意の $\e>0$ をとると, ある $t_0\in A$ が存在して, $$ \inf f(t) +\inf g(t) \leq f(t_0)+g(t_0) < a+\e $$ を満たす. したがって, $$ \inf f(t) +\inf g(t) < a +\e. $$ $\e>0$ は任意なので, $$ \a \geq \inf f(t) +\inf g(t). $$ 同様にすれば $$ \inf (f(t)g(t)) \leq \inf f(t)\inf g(t) $$ も示せる.

上の結果から次の系を得る.

系
$\{a_n\},\{b_n\}$ を数列とする. 各 $n\in N$ に対して次が成り立つ. $$\eq{ \sup_{k\geq n}(a_k+b_k) & \leq \sup_{k\geq n}a_n + \sup_{k\geq n}b_n \\ \inf_{k\geq n}(a_k+b_k) & \geq \inf_{k\geq n}a_n + \inf_{k\geq n}b_n \\ \sup_{k\geq n}(a_k b_k) & \leq \sup_{k\geq n}a_n \sup_{k\geq n}b_n \\ \inf_{k\geq n}(a_k b_k) & \geq \inf_{k\geq n}a_n \inf_{k\geq n}b_n }$$

[証明]
前問で $A=\{k \in \N \mid k\geq n\}$ とすればよい.

この系は上極限の性質を証明するときに用いられる.
(上極限と下極限の求め方【例題】参照.)

上限と最大値の違い

定義
$A\ (\neq \emp)$ を $\R$ の部分集合とする.
$\a\in \R$ が次の２条件を満たすとき, $\a$ を $A$ の上限(supremum)といい, $\sup A$ と表す：
$(1)\ \all x\in A,\ x\leq \a.$
$(2)\ \all \e >0,\ \exists x\in A,\ \a-\e < x.$

$\a\in \R$ が次の２条件を満たすとき, $\a$ を $A$ の最大値(maximum)といい, $\max A$ と表す：
$(1)\ \all x\in A,\ x\leq \a.$
$(2)\ \a\in A.$

例
$A$ を閉区間 $[0,1]$ とし, $B$ を開区間 $(0,1)$ とするとき, $$ \sup A=\max A=\sup B=1. $$ しかし, $\max B$ は存在しない.

上の例について, 最大値を持つものは $A$ のみであるが, $B$ に対しても１は最大値に似た性質を持っている.

次に $\max A$ が存在すれば $\sup A=\max A$ であることを示そう.

定理
$A\ (\neq \emp)$ を $\R$ の部分集合とする.
$\max A$ が存在するならば, $\sup A=\max A.$

▼ 証明

[証明]
$\a:=\sup A,\ \b:=\max A$ とおく.
上限の定義より, $\all x\in A,\ x\leq \a.$ また, 最大値の定義より, $\b \in A.$
これらから, $\b \leq \a.$

上限の定義より, $$ \all \e >0,\ \exists r\in A,\ \a-\e < r $$ である. $r\in A$ なので, 最大値の定義より $r\leq \b.$ 以上から, $$ \a-\e < \b \leq \a < \a+\e. $$ $$ \th |\a-\b| < \e. $$ $\e>0$ は任意なので, $\a=\b.$

以上の考察から, 上限という概念は最大値の拡張と考えられる.

メモ

上限の意義

上限という概念を定義する意義は, １つに次の実数の連続性の公理のためである.

公理 (実数の連続性)
上に有界な集合は必ず上限を持つ.

この公理から次の２つの重要な事実が導かれる：
・アルキメデスの性質
・有理数の稠密性