マクローリン展開の証明【剰余項が０に収束すること】
この記事では、 $e^x$ や $\sin x$ などのマクローリン展開を扱います。
この記事で扱う問題は、剰余項が０に収束することを示すものです。 $f^{(n)}(0)$ を求めてマクローリン級数を導出する計算問題についてはマクローリン級数【例題】を見てください。
問題の前に、マクローリン展開について確認しておきます。
定義
$f(x)$ は点 $0$ を含む開区間 $I \sub \R$
上で無限回微分可能な関数とする.
このとき, べき級数
$$ \sum_{n=0}^\iy \f{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
= f(0)+f'(0)x+\f{f''(0)}{2!}x^2+ \cd +\f{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cd $$
を $f(x)$ のマクローリン級数(Maclaurin series)という.
マクローリン級数が収束し, 元の関数 $f(x)$ に一致するとき,
このマクローリン級数のことを $f(x)$ のマクローリン展開(Maclaurin expansion)という.
※関数 $f(x)$ が点 $0$ で無限回微分可能ならば,
$f(x)$ のマクローリン級数は存在します。
しかし, その級数が収束するとは限らないので,
マクローリン展開が常にできるとはならないです。
したがって, マクローリン級数とマクローリン展開は同じ概念ではありません。
マクローリン展開の証明
例題
$e^x$ のマクローリン展開を求めよ.
[解答]
$f(x)=e^x$ とおく. 各 $n\in \N$ に対して,
$f^{(n)}(x)=e^x$ なので,
$$ f^{(n)}(0)=1\ \ \ (\all n\in \N) $$
が成り立つ. したがって, $e^x$ のマクローリン級数は
$$ 1+x+\f{x^2}{2!}+\cd
+\f{x^n}{n!}+\cd $$
である.
定理 (マクローリン展開)
関数 $f(x)$ が $x=0$ を内部に含む開区間で $C^\iy$ 級とすると, 各 $n\in \N$ に対して次の式が成り立つ.
$$ f(x) =f(0)+f'(0)x+\f{f''(0)}{2!}x^2
+ \cd +\f{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}x^{n-1}+R_n. $$
従って, $R_n\to 0\ (n\to \iy)$ であれば,
$$ f(x) =f(0)+f'(0)x+\f{f''(0)}{2!}x^2
+ \cd +\f{f^{(n)}(a)}{n!}x^n+\cd $$
となる. ただし, $R_n$ はラグランジュの剰余項：
$$ R_n=\f{x^n}{n!}
f^{(n)}(\t x)\ \ \ (0< \t< 1) $$
あるいは, コーシーの剰余項：
$$ R_n=\f{(1-\t)^{n-1}x^n}{(n-1)!}f^{(n)}(\t x)
\ \ \ (0< \t< 1) $$
という形である.
[証明]
テイラーの定理と剰余項【証明】を参照してください.
注意 $0< \t < 1$ だが, $\t$ は $x$ と $n$ の両方に依存する. つまり, $x$ または $n$ の値が変わると, それに応じて $\t$ も変わる.
マクローリン展開の例
例題
$e^x$ のマクローリン展開は次のようになることを示せ.
$$ e^x=1+x+\f{x^2}{2!}+\cd
+\f{x^n}{n!}+\cd\ \ \ (|x|<\iy) $$
- ▼ 解答
-
[解答]
$f(x)=e^x$ とおく.
$f^{(n)}(x)=e^x$ なので, $f^{(n)}(0)=1.$
これより, 展開式の $x^n$ の係数が求まる.
また, ラグランジュの剰余項は $$ R_n=\f{x^n}{n!}f^{(n)}(\t x) =\f{x^n}{n!}e^{\t x} \ \ (0<\t< 1)$$ なので, すべての $x\in \R$ に対して, $$ |R_n|=\f{|x|^n}{n!}e^{\t x} \leq \f{|x|^n}{n!}e^{|x|} \to 0 \ \ (n\to \iy). $$ よって, $e^x$ はすべての $x\in\R$ でマクローリン展開ができて, 上の展開式になる.
※ $0< \t < 1$ だが, $\t$ は $x$ と $n$ の両方に依存することに注意.
例題
$\sin x$ のマクローリン展開は次のようになることを示せ.
$$ \sin x=x-\f{x^3}{3!}+\f{x^5}{5!}-\cd
+(-1)^n\f{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cd \ \ (|x|<\iy) $$
- ▼ 解答
-
[解答]
$f(x)=\sin x$ とおく.
$f^{(n)}(x)=\sin\le(x+\f{n\pi}{2}\ri)$ なので, $$ f^{(n)}(0) =\sin\le(\f{n\pi}{2}\ri) =\case{ (-1)^{\tf{n-1}{2}} & (n \te{は奇数)} \\ 0 & (n \te{は偶数)} } $$ これより, 展開式の $x^n$ の係数が求まる.
また, ラグランジュの剰余項は $$ R_n=\f{x^n}{n!}f^{(n)}(\t x) =\f{x^n}{n!}\sin\le(\t x+\f{n\pi}{2}\ri) \ \ (0<\t< 1)$$ なので, すべての $x\in \R$ に対して, $$ |R_n| =\f{|x|^n}{n!} \Big|\sin\le(\t x+\f{n\pi}{2}\ri)\Big| \leq \f{|x|^n}{n!}\to 0\ \ \ (n\to \iy). $$ よって, $\sin x$ はすべての $x\in\R$ でマクローリン展開ができて, 上の展開式になる.
例題
$\cos x$ のマクローリン展開は次のようになることを示せ.
$$ \cos x=1-\f{x^2}{2!}+\f{x^4}{4!}-\cd
+(-1)^n\f{x^{2n}}{(2n)!}+\cd\ \ (|x|<\iy) $$
- ▼ 解答
-
[解答]
$f(x)=\cos x$ とおく.
$f^{(n)}(x)=\cos\le(x+\f{n\pi}{2}\ri)$ なので, $$ f^{(n)}(0) =\cos\le(\f{n\pi}{2}\ri) =\case{ (-1)^{n/2} & (n \te{は偶数)} \\ 0 & (n \te{は奇数)} } $$ これより, 展開式の $x^n$ の係数が求まる.
また, ラグランジュの剰余項は $$ R_n=\f{x^n}{n!}f^{(n)}(\t x) =\f{x^n}{n!}\cos\le(\t x+\f{n\pi}{2}\ri) \ \ (0<\t< 1)$$ なので, すべての $x\in \R$ に対して, $$ |R_n| =\f{|x|^n}{n!} \Big|\cos\le(\t x+\f{n\pi}{2}\ri)\Big| \leq \f{|x|^n}{n!}\to 0\ \ \ (n\to \iy). $$ よって, $\cos x$ はすべての $x\in\R$ でマクローリン展開ができて, 上の展開式になる.
例題
$\log (1+x)$ のマクローリン展開は次のようになることを示せ.
$$ \log(1+x)=x-\f{x^2}{2}+\f{x^3}{3}-\cd
+(-1)^{n-1}\f{x^n}{n}+\cd\ \ (|x|< 1) $$
- ▼ 解答
-
[解答]
$f(x)=\log (1+x)$ とおく. $n\geq 1$ に対して, $f^{(n)}(x) =\f{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$ なので, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)!.$
これより, 展開式の $x^n$ の係数が求まる.
また, コーシーの剰余項は $$\eq{ R_n & =\f{(1-\t)^{n-1}x^n}{(n-1)!}f^{(n)}(\t x) \\ & =\f{(1-\t)^{n-1}x^n}{(n-1)!} \c \f{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+\t x)^n} \\ & =\f{(1-\t)^{n-1}x^n(-1)^{n-1}}{(1+\t x)^n} \ \ \ (0<\t< 1) }$$ さらに, $$ 0< \f{1-\t}{1+\t x}<1\ \ \ (0<\t <1,\ |x|<1) $$ に注意すると, $$\eq{ |R_n| & =\f{|x|^n(1-\t)^{n-1}}{(1+\t x)^n} =\f{|x|^n}{1+\t x}\le(\f{1-\t}{1+\t x}\ri)^{n-1} \\ & \leq \f{|x|^n}{1+\t x} \leq \f{|x|^n}{1-|x|} \to 0\ \ (n\to \iy). }$$ よって, $\log(1+x)$ は $|x|< 1$ のときにマクローリン展開ができて, 上の展開式になる.
例題
$(1+x)^\a$ のマクローリン展開は次のようになることを示せ.
$$ (1+x)^\a=1+\a x+\f{\a(\a-1)}{2!}x^2 +\cd
+\f{\a(\a-1)\cd(\a-n+1)}{n!}x^n+\cd $$
ただし, $|x|< 1$ のときであり, $\a$ は任意の実数とする.
- ▼ 解答
-
[解答]
$f(x)=(1+x)^\a$ とおく.
$f^{(n)}(x)=\a(\a-1)\cd(\a-n+1)(1+x)^{\a-n}$ なので, $f^{(n)}(0)=\a(\a-1)\cd(\a-n+1).$
これより, 展開式の $x^n$ の係数が求まる.
$$ C_n=\f{\a(\a-1)\cd(\a-n+1)x^n}{(n-1)!} $$ とおく. コーシーの剰余項は $$\eq{ R_n & =\f{(1-\t)^{n-1}x^n}{(n-1)!}f^{(n)}(\t x) \\ & =C_n(1-\t)^{n-1}(1+\t x)^{\a-n} \\ & =C_n \le(\f{1-\t}{1+\t x}\ri)^{n-1} (1+\t x)^{\a-1} }$$ また, $$ 0< \f{1-\t}{1+\t x}<1\ \ \ (0<\t <1,\ |x|<1) $$ より, $$ |R_n|\leq |C_n| (1+\t x)^{\a-1} $$ $(1+\t x)^{\a-1}$ は $n$ に関して有界である.
実際, $\a-1\geq 0$ のときは
$$ (1+\t x)^{\a-1} \leq (1+|x|)^{\a-1}. $$ $\a-1 < 0$ のときは $$ (1+\t x)^{\a-1} \leq (1-|x|)^{\a-1}. $$ (※$\t$ は $n$ に依存する量である.)
ゆえに, $R_n\to 0\ (n\to \iy)$ を示すためには, $C_n\to 0\ (n\to \iy)$ を示せばよい.
$$ \le|\f{C_{n+1}}{C_n}\ri| =\le|\f{\a-n}{n}x\ri|\to |x|< 1 (n\to \iy) $$ であるから, $C_n\to 0$ を得る. よって, $R_n\to 0\ (n\to \iy)$ を得る. これで証明は完結した.
例
$(1+x)^\a$ について, 特に
$\a=-1,-2,1/2$ の場合のマクローリン展開は次のようになる.
ただし, 範囲はすべて $|x|<1$ である.
$$\eq{
& \f{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cd \ \ \ (\a=-1)
\\ & \f{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cd
\ \ \ (\a=-1,\ x\to -x)
\\ & \f{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+\cd
\ \ \ (\a=-2)
\\ & \f{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cd\ \ \ (\a=-2,\ x\to -x)
\\ & \r{1+x}=1+\f{1}{2}x-\f{1}{2\c 4}x^2
+\f{1\c 3}{2\c 4\c 6}x^3
\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\cd
+(-1)^{n-1}\f{(2n-3)!!}{2n!!}x^n+\cd
\ \ \ (\a=\f{1}{2})
}$$